jueves, 19 de marzo de 2009

Informe de laboratorio 3 "Capacitores"

Marzo 19, 2009 Departamento de Matemáticas y Física
Código: FIS-1033-05 ©Ciencias Básicas
Laboratorio de Física Eléctrica Universidad del Norte - Colombia




Adrián Alberto Fernández Cabrera
adrianf@uninorte.edu.co
Ingeniería Electrónica

Andrea Zogby Núñez
azogby@uninorte.edu.co
Ingeniería Mecánica

Carlos Mario Ocampo Yepes
carlosy@uninorte.edu.co
Ingeniería Mecánica



Abstract

This experience is with the objective of analyze the relation between the charge, the voltage and the capacity of a parallel-plate capacitor, keeping one of this constant, varying another one and measuring the third one. Different common materials are going to be inserted between the capacitor plates to determine their dielectric coefficients.

Resumen

En esta experiencia, se indagará la relación entre la carga, el voltaje y la capacitancia de un condensador de placas paralelas, manteniendo una de estas cantidades constante, variando una de ellas y midiendo la tercera. Se insertarán materiales comunes entre las placas del condensador para determinar sus coeficientes dieléctricos.

Introducción

El propósito de esta experiencia es mostrar experimentalmente las propiedades de las líneas de campo así como su dirección ya sea entre objetos cargados (cargas continuas) y cargas puntuales.

Objetivos

Generales

1. Establecer la relación entre carga, voltaje y capacitancia para un condensador de placas paralelas.


Específicos

1. Establecer una relación empírica entre el voltaje V y la carga Q, manteniendo la capacitancia del condensador C constante.
2. Establecer una relación empírica entre la carga Q y la capacitancia C, manteniendo el voltaje constante.
3. Establecer la relación empírica entre el voltaje V y la capacitancia C, manteniendo constante la carga Q
4. Comparar los coeficientes dieléctricos de algunos materiales comunes.

Marco teórico

Influencia entre conductores

Si un conductor cargado con carga Q, que suponemos positiva, se introduce en el hueco interior de otro conductor inicialmente descargado, esto origina una redistribución de cargas en el conductor inicialmente neutro.

Esta redistribución es consecuencia del establecimiento de la condición de equilibrio electrostático en ambos conductores (Eint = 0). Si la superficie exterior del conductor neutro se conecta a tierra (almacén infinito de cargas libres), suben tantos electrones desde tierra como sean necesarios para compensar las cargas positivas, dando lugar todo este proceso a la aparición de una carga neta –Q en dicho conductor.

La situación anterior se conoce como influencia total, dado que los dos conductores tienen la misma carga pero de signo contrario. Todas las líneas de campo que parten de un conductor acaban en otro. (Esta situación se encuentra estrictamente en la practica cuando un conductor esta encerrado en el interior de otro). Dos conductores en influencia total forman un sistema que se conoce como condensador, definiéndose la capacidad de un condensador como:

C=Q/∆V


Capacitor eléctrico

Un capacitor es un dispositivo que consiste esencialmente en dos electrodos metálicos separados por aire o cualquier otro medio aislante. Típicamente, los electrodos tienen forma de placas paralelas o de cilindros coaxiales. Cuando a los electrodos se le suministra carga de polaridad opuesta, se establece un campo en el medio aislante que los separa.

Capacitancia de un condensador.

Entre más capacidad (capacitancia) tenga un condensador (capacitor), mas cargas (más energía) podrá almacenar por unidad de voltaje en su interior.
Si se añade cierta carga Q a un conductor inicialmente descargado, esta carga se redistribuye en la superficie del conductor creando una densidad de carga superficial ρs y, consecuentemente, un potencial, V, cuyo valor viene dado por la siguiente integral:

V (P) = 1/4πε0 ∫ ρsdS/r, P Є S

Por el principio de superposición, si se aumenta la carga total, Q = ∫ ρsdS, es razonable suponer que ello simplemente se traduzca en un aumento proporcional de la densidad superficial de carga, esto es,

Q → Q´ = βQ entonces ρs (S) → ρ´s (S) = β ρs (S)

Y por tanto

V → V´= βV

En la situación descrita anteriormente, el cociente entre la carga y el potencial es el mismo:

Q/V = Q´/v´ es equivalente a βQ/βV

Lo que implica que la relación entre la carga y el potencial es una magnitud independiente de Q y de V. esta magnitud se conoce como capacitancia C del conductor y se define como

C = Q/V

La unidad de capacidad es el faradio (F), definida en el SI como:

1 faradio = 1 coulomb/ 1 voltio

Capacitancia de un condensador de placas paralelas.

Para calcular la capacitancia de un condensador de placas paralelas primero se debe estudiar la diferencia de potencial existente entre dichas placas. Para calcularlo este condensador se tratara suponiendo que las dimensiones de dichas placas son mucho mayores que la distancia entre ellas y, por tanto, estas se modelaran por dos planos infinitos cargados. Teniendo en cuenta la expresión para el campo producido por un plano cargado uniformemente, en el caso de dos planos infinitos cargados con distinta polaridad, por superposición se tiene que:

E= (ρs / ε0) Ŷ si 0 ‹ y ‹ d y E= 0 en cualquier otro caso

Para calcular la diferencia de potencial entre las placas del condensador, se integrar el camino del campo eléctrico entre una placa y otra.

Dado que el campo eléctrico es uniforme, puede escribirse que:


∆V= ∫d0 E∙ds = Eds = (ρs / ε0) d

Dado que la carga de cada una de las placas finitas viene dada por Q= ρsS, la capacidad del condensador de placas paralelas esta muy aproximadamente:

C= ρsS / (ρs / ε0) d = ε0(S/d)


Constante dieléctrica k.

Un material no conductor, como por ejemplo el vidrio o la madera, se denomina dieléctrico. Faraday descubrió que cuando el espacio entre los dos conductores de un condensador se ve ocupado por un dieléctrico, la capacidad aumenta. Si el espacio (entre las laminas de un condensador de placas paralelas, por ejemplo) esta completamente lleno por el dieléctrico, la capacidad aumenta en un factor K que es característico del dieléctrico, y que se denomina constante dieléctrica.

Supongamos que se conecta un condensador de capacidad C0 a una pila que lo carga a una diferencia de potencial V0 poniendo una carga Q0 = C0V0 en las placas. Si las pilas se conectan a continuación y se inserta un dieléctrico en el interior del condensador, rellenando todo el espacio entre las placas, la diferencia de potencial disminuye hasta un valor nuevo:

V=V0/K

Puesto que la carga original Q0 esta todavía sobre las placas, la nueva capacidad es:
C=Q0 / V=K Q0 / V0=KC0

Si, por otra parte se inserta el dieléctrico mientras la pila sigue conectada, esta deberá suministrar mas carga para mantener la diferencia de potencial original. La carga total sobre las placas es entonces Q= KQ0. En cualquier caso la capacidad se ve aumentada en el factor K.

Puesto que la diferencia de potencial entre las placas de un condensador de laminas plano-paralelas es igual al campo eléctrico entre las placas multiplicado por la separación d, el efecto del dieléctrico (cuando la pila esta desconectada), es disminuir el campo eléctrico en el factor K. Si E0 es el campo original sin el dieléctrico, el nuevo campo E es:

E=E0/K

Podemos comprender este resultado en función de la polarización molecular del dieléctrico. Si las moléculas del dieléctrico son moléculas polares, es decir, poseen momentos dipolares permanentes, estos momentos están originalmente orientados al azar. En presencia del campo existente entre las placas del condensador, estos momentos dipolares experimentan la acción de un par o momento que tiende a alinearlos en la dirección del campo. La magnitud de alineación depende de la fuerza del campo y de la temperatura. A temperaturas elevadas el movimiento térmico aleatorio de las moléculas tiende a contrarrestar la alineación. En cualquier caso, la lineación de los dipolos moleculares produce un campo eléctrico adicional debido a los dipolos cuyo sentido es opuesto al del campo original. El campo original se ve así debilitado. Incluso en el caso en que las moléculas del dieléctrico no sean polares, poseerán momentos dipolares inducidos en presencia del campo eléctrico existente entre las placas. Los momentos dipolares inducidos tienen la dirección del campo original. De nuevo, el campo eléctrico adicional debido a estos momentos inducidos debilita el campo inicial.

Un dieléctrico que tiene momentos dipolares eléctricos predominantemente en la dirección del campo externo, se dice que esta polarizado por el campo, bien sea porque la polarización se deba a la alineación de los momentos dipolares permanentes de las moléculas polares o bien a la creación de momentos dipolares inducidos en el caso de moléculas no polares. El efecto neto de la polarización de un dieléctrico homogéneo es la creación de una carga superficial sobre las caras del dieléctrico próximas a las placas, este consiste en producir una densidad de carga superficial positiva en la cara derecha y una densidad superficial negativa en la cara izquierda (campo dirigido hacia la derecha). Las densidades de carga en las caras del dieléctrico son debidas a los desplazamientos de las caras moleculares positivas o negativas próximas a las superficies exteriores o caras. Este desplazamiento se debe al campo eléctrico externo del condensador. La carga en el dieléctrico, llamada carga ligada, no esta libre para moverse de un modo semejante a como están las cargas ordinarias en las placas de un condensador que son conductoras. Aunque desaparecen al extinguirse el campo eléctrico exterior, producen un campo eléctrico semejante al producido por cualquier otra carga. Relacionaremos la densidad de carga ligada σb a la constante dieléctrica K y a la densidad de carga libre σf situada sobre las placas del condensador.

El campo eléctrico en el interior del bloque de dieléctrico debido a las densidades de carga ligadas +σb a la derecha y - σb a la izquierda, es igual al campo debido a dos densidades de carga planas infinitas (admitiendo que el bloque o lamina es muy delgado, es decir, que las placas del condensador están muy próximas).El campo tiene así el valor:

E´= σb / ε0

Este campo esta dirigido hacia la izquierda y se resta del campo eléctrico debido a la densidad de carga libre ordinaria situada en las placas del condensador. El campo original E0 tiene el valor:

E0= σf / ε0

El valor del campo resultante E es así la diferencia de estos valores. Es también igual E0/K

E= E0-E’ = E0/ K

O sea,

E’= E0 (1 – 1/K) = [(K -1)/K] E0

Escribiendo σb/ ε0 en lugar de E’ y σf / ε0 en lugar de E0, tenemos:

σb = [(K -1)/K] σf

La densidad de carga ligada σb es así siempre menor que la densidad de carga libre σf situada en las láminas del condensador y es cero si K es igual a 1, que es el caso de carencia de dieléctrico.


Procedimiento experimental.

Configuración del ordenador

1. Conectamos el interfaz ScienceWorkshop al ordenador, encendimos el interfaz y luego encendimos el ordenador.
2. Conectamos las clavijas del sensor de carga al Canal Analógico A y el del electrómetro al canal B.
3. Abrimos el archivo titulado: DataStudio

Toma de datos

Caso 1: Mantuvimos C constante, variamos Q y medimos V.

1. Presionamos el botón cero en el electrómetro para remover cualquier carga residual al igual que en las placas del condensador.
2. Separaos 2mm las placas del condensador. Usamos el probador plano para transferir carga desde la esfera cargada a las placas del condensador. La carga es transferida simplemente tocando con el probador, primero la esfera y luego una de las placas del condensador. Tocamos la esfera y la placa del condensador en el mismo lugar y se transfirió aproximadamente la misma cantidad de carga cada vez. Observamos como varió el potencial medido en toque.
3. Doblamos la separación entre las placas del condensador y observamos el nuevo potencial medido.

Caso 2: Mantuvimos V constante, variamos C y medimos Q.

4. Descargamos momentáneamente el probador de carga (pulsando el botón “cero” en el electrómetro) y lo usamos para examinar la densidad de carga del condensador usando el cilindro interno de la Jaula al medir la carga. Determinamos la densidad de carga en varios puntos sobre la placa del condensador – tanto en la parte interna como externa de las superficie
5. Escogimos un punto cerca del centro de la placa del condensador y medimos la densidad de carga en esta área para diferentes separaciones de las placas (observamos si estaba creciendo o decreciendo la capacitancia al mover las placas).


Caso 3: Mantuvimos C constante, variamos V y medimos Q.

6. El condensador de placas paralelas tenía una separación inicial de 6cm y estaba conectado inicialmente a una fuente de voltaje de 3000VCD. La Jaula de Faraday estaba conectada al electrómetro y éste lo estaba a tierra.
7. Mantuvimos la separación de las placas constante y cambiamos el potencial a través de las placas, para ello movimos el cable de 3000 a 2000V. Examinamos la densidad de carga cerca del centro de una de las placas del condensador. Repetimos para 1000VCD.

Caso 4: Mantuvimos Q constante, variamos C y medimos V

8. Con una separación de 2mm, cargamos el condensador con el “transportador de carga” realizando varios toques a las placas desde la esfera cargada.
9. Incrementamos la separación de las placas. Medimos el potencial para cada caso. Realizamos por lo menos 5 mediciones. Evitamos tocar con las manos las placas del capacitor.

Caso 5: Coeficientes dieléctricos

10. Usamos la fuente de voltaje para tocar con el “transportador de carga” momentáneamente las placas y cargar el condensador cerca de 4/5 de la escala total. Registramos el voltaje que indica el electrómetro Vi
11. Incrementamos cuidadosamente la separación de las placas hasta que hubo suficiente espacio para insertar un dieléctrico sin que éste se tenga que forzar.
12. Después de insertar el dieléctrico, retornamos las placas a la separación original y registramos la nueva lectura de voltaje que indica el electrómetro Vf
13. Separamos las placas nuevamente y removimos con cuidado la hoja del dieléctrico.
14. Retornamos las placas a la separación original y confirmamos si la lectura del electrómetro estaba de acuerdo con la lectura original de Vi.

Montaje del equipo

Caso 1: Mantenga C constante, varíe Q y mida V.













Caso 2: Mantenga V constante, varíe C y mida Q.












Caso 3: Mantenga C Constante, varíe V y mida Q
Tener en cuenta también el montaje del caso 2 para analizar este caso.

Caso 4: Mantenga Q constante, varíe C y mida V.















Caso 5: Coeficientes dieléctricos


















Datos Obtenidos

Caso 1:



















Caso 2:


















Caso3:







Caso 4:

Caso 5:
Análisis y discusión de resultados

Pregunta 1: ¿Qué puede concluir acerca de la relación entre la carga Q y el voltaje V cuando la capacitancia del condensador es constante?

Que a medida que aumentamos la carga Q en el condensador, el voltaje V en el también aumentara en la misma razón, por lo que, la relación entre el voltaje y la carga del capacitor es directamente proporcional al cambio de uno de ellos.

Pregunta 2:.Cuando aumenta la separación entre las placas. ¿Cómo cambia la capacitancia del capacitor? ¿Que relación hay entonces entre la capacitancia C y la carga en sus placas cuando se mantiene constante la diferencia de potencial V?

Al aumentar la separación entre las placas la capacitancia del condensador disminuye pues esta es inversamente proporcional a la distancia entre los conductores.
Al mantener el voltaje constante y aumentar la carga, el voltaje aumentara a su vez por un corto tiempo y luego retornara a su valor constante, y la capacitancia permanecerá igual, es decir, el cociente entre la carga Q y la capacitancia del sistema C (V), aumentara durante un corto tiempo.
Pregunta 3: Cuando se mantiene la carga en las placas del capacitor constante. ¿Qué relación hay entre la capacitancia del condensador y la diferencia de potencial V entre sus placas?
Al mantener la carga de los capacitores constante y variar la capacitancia del condensador al cambiar la distancia entre ellos, varia el voltaje de la siguiente forma. Al disminuir la distancia entre las placas aumenta la capacitancia, pero al mismo tiempo disminuye el voltaje entre ellas en la misma proporción. Y al aumentar la distancia entre las placas, disminuimos la capacitancia pero a su vez aumentamos el voltaje en la misma proporción en que la capacitancia se vio disminuida. Es decir, se ve una relación inversamente proporcional entre la capacitancia y el voltaje percibidos.

Pregunta 4: ¿Qué cambios produce en la magnitud de la capacitancia introducir un dieléctrico entre sus placas?

Cuando se introduce un dieléctrico entre sus placas, la capacidad del condensador aumenta pues se reduce la diferencia de voltaje y al mantenerse la misma carga, el cociente entre estas dos es mayor en un factor K, que depende del material del dieléctrico.


Conclusiones.

Podemos concluir que la capacitancia de un condensador de placas paralelas depende de la distancia entre sus conductores, y del cociente entre su carga neta (Q) y su diferencia de potencial (V), y no del comportamiento independiente de uno de ellos. La capacitancia de un condensador esta relacionada directamente con la constante K del dieléctrico entre sus placas. La capacitancia C es directamente proporcional a la constante K del dieléctrico entre sus placas. Pudimos demostrar experimentalmente la validez de la formula física de la capacitancia en un condensador de placas paralelas.


Referencias bibliográficas.

1. J. Wilson y A. Buffa, Física, 5ta Edición, Pearson Education (2003).
2. Arnold L. Reimann, Física electricidad, magnetismo y Optica, Edición en español, Comañia editorial continental S.A. (1975).
3. A. Olivos y D. Castro, Física electricidad para estudiantes de ingeniería, 1ra Edición, Ediciones Uninorte (2008)
4. Paul A. Tipler, Física Vol.II, Edición en español, Editorial Reverté S.A. (1984)

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